微分和积分有何区别(微分和积分有什么区别)

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8条解答

微分和积分有何区别


一.微分与积分的区别?

1.微分:设函数y=fx的自变量有一改变量△x,则函数的对应改变量△y的近似值f~x*△x叫做函数y的微分。

2.“~”表示导数记为dy=f~(x)△x可见,微分的概念是在导数概念的基础上得到的。自变量的微分的等于自变量的改变量,则将△x用dx代之,则微分写为dy=f~(x)dx变形为:dy/dx=f~(x)故导数又叫微商。

积分:它是微分学的逆问题。函数f(x)的全体原函数叫做f(x)的或f(x)dx的不定积分。记作∫f(x)dx。若Fx是f(x)的原函数,则有∫f(x)dx=Fx CC为任意常数,称为不定积分常数。对于定积分,它的概念来源不同于不定积分。定积分檎是从极限方面来。是从以“不变”代“变”,以“直”代“曲”求某个变化过程中无限多个微小量的和,最后取极限得到的。所以不定积分与定积分不是仅差一个常数的问题,即使是在计算上仅差一常数,而且运算法则也基本相同。它们之间建立关系是通过“牛顿-莱布尼兹公式”。公式是非曲直∫f(x)dx=Fb-Fa积分下限a,上限b

二.微分和积分有什么区别,大一高数,最简单的解释

1.导数和微分在书写的形式有些区别,如y'=f(x),则为导数,书写成dy=f(x)dx,则为微分。积分是求原函数,可以形象理解为是函数导数的逆运算。通常把自变量x的增量Δx称为自变量的微分,记作dx,即dx=Δx。于是函数y=f(x)的微分又可记作dy=f'(x)dx,而其导数则为:y'=f'(x)。设F(x)为函数f(x)的一个原函数,我们把函数f(x)的所有原函数F(x) CC为任意常数,叫做函数f(x)的不定积分,数学表达式为:若f'(x)=g(x),则有∫g(x)dx=f(x) c。

2.扩展资料:设函数y=f(x)在x的邻域内有定义,x及x Δx在此区间内。如果函数的增量Δy=f(x Δx)-f(x)可表示为Δy=AΔx o(Δx)其中A是不依赖于Δx的常数,而o(Δx)是比Δx高阶的无穷小注:o读作奥密克戎,希腊字母那么称函数f(x)在点x是可微的,且AΔx称作函数在点x相应于因变量增量Δy的微分,记作dy,即dy=AΔx。

3.函数的微分是函数增量的主要部分,且是Δx的线性函数,故说函数的微分是函数增量的线性主部△x→0。于是函数y=f(x)的微分又可记作dy=f'(x)dx。函数因变量的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此,导数也叫做微商。当自变量X改变为X △X时,相应地函数值由f(X)改变为f(X △X),如果存在一个与△X无关的常数A,使f(X △X)-f(X)和A·△X之差是△X→0关于△X的高阶无穷小量,则称A·△X是f(X)在X的微分,记为dy,并称f(X)在X可微。

4.一元微积分中,可微可导等价。记A·△X=dy,则dy=f′(X)dX。例如:d(sinX)=cosXdX。微分概念是在解决直与曲的矛盾中产生的,在微小局部可以用直线去近似替代曲线,它的直接应用就是函数的线性化。

5.微分具有双重意义:它表示一个微小的量,因此就可以把线性函数的数值计算结果作为本来函数的数值近似值,这就是运用微分方法进行近似计算的基本思想。

6.积分发展的动力源自实际应用中的需求。实际操作中,有时候可以用粗略的方式进行估算一些未知量,但随着科技的发展,很多时候需要知道精确的数值。

7.要求简单几何形体的面积或体积,可以套用已知的公式。比如一个长方体状的游泳池的容积可以用长×宽×高求出。但如果游泳池是卵形、抛物型或更加不规则的形状,就需要用积分来求出容积。物理学中,常常需要知道一个物理量比如位移对另一个物理量比如力的累积效果,这时也需要用到积分。勒贝格积分的出现源于概率论等理论中对更为不规则的函数的处理需要。黎曼积分无法处理这些函数的积分问题。因此,需要更为广义上的积分概念,使得更多的函数能够定义积分。同时,对于黎曼可积的函数,新积分的定义不应当与之冲突。勒贝格积分就是这样的一种积分。黎曼积分对初等函数和分段连续的函数定义了积分的概念,勒贝格积分则将积分的定义推广到测度空间里。勒贝格积分的概念定义在测度的概念上。测度是日常概念中测量长度、面积的推广,将其以公理化的方式定义。黎曼积分实际可以看成是用一系列矩形来尽可能铺满函数曲线下方的图形,而每个矩形的面积是长乘宽,或者说是两个区间之长度的乘积。

8.测度为更一般的空间中的集合定义了类似长度的概念,从而能够“测量”更不规则的函数曲线下方图形的面积,从而定义积分。

9.在一维实空间中,一个区间A=的勒贝格测度μ(A)是区间的右端值减去左端值,b−a。这使得勒贝格积分和正常意义上的黎曼积分相兼容。在更复杂的情况下,积分的集合可以更加复杂,不再是区间,甚至不再是区间的交集或并集,其“长度”则由测度来给出。

参考资料:-微分-积分

三.微分与积分是什么,有区别么?

1.区别:数学表达不同:微分:导数和微分在书写的形式有些区别,如y'=f(x),则为导数,书写成dy=f(x)dx,则为微分。

2.积分:设F(x)为函数f(x)的一个原函数,我们把函数f(x)的所有原函数F(x) CC为任意常数,叫做函数f(x)的不定积分,数学表达式为:若f'(x)=g(x),则有∫g(x)dx=f(x) c。

3.几何意义不同:微分:设Δx是曲线y=f(x)上的点M的在横坐标上的增量,Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量,dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。

4.当|Δx|很小时,|Δy-dy|比|Δx|要小得多(高阶无穷小),因此在点M附近,我们可以用切线段来近似代替曲线段。

5.积分:积分发展的动力源自实际应用中的需求。实际操作中,有时候可以用粗略的方式进行估算一些未知量,但随着科技的发展,很多时候需要知道精确的数值。

6.要求简单几何形体的面积或体积,可以套用已知的公式。比如一个长方体状的游泳池的容积可以用长×宽×高求出。扩展资料:笼统的说,微分和积分是对函数的一种变换——从已知函数经过内某种过程变成一容个新的函数,是一种“定义域”和“值域”都是函数集合的映射对应。

7.如果不考虑相差一个常数的话,微分和积分互为逆变换:对一个函数先求微分,再求积分,等于其本身;对一个函数先求积分,再求微分,等于其本身。

参考资料:-微分-积分

四.高数中积分和微分是什么意思

1.在高数中,积分一般分为不定积分、定积分和微积分三种,定积分是变量限定在一定的范围内的积分,有范围的。

2.微积分包括微分和积分,积分和微分互为逆运算,积分又包括定积分和不定积分,不定积分是没范围的。拓展内容:微分在数学中的定义:由函数B=f(A),得到A、B两个数集,在A中当dx靠近自己时,函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分,微分的中心思想是无穷分割。

3.微分是函数改变量的线性主要部分。微积分的基本概念之一。积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。直观地说,对于一个给定的正实值函数,在一个实数区间上的定积分可以理解为在坐标平面上,由曲线、直线以及轴围成的曲边梯形的面积值一种确定的实数值。

五.什么是微分和积分

1.微积分学是微分学和积分学的总称。客观世界的一切事物,小至粒子,大至宇宙,始终都在运动和变化着。因此在数学中引入了变量的概念后,就有可能把运动现象用数学来加以描述了。由于函数概念的产生和运用的加深,也由于科学技术发展的需要,一门新的数学分支就继解析几何之后产生了,这就是微积分学。

2.微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的,可以说它是继欧氏几何后,全部数学中的最大的一个创造。

3.微积分学的建立从微积分成为一门学科来说,是在十七世纪,但是,微分和积分的思想在古代就已经产生了。公元前三世纪,古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中,就隐含着近代积分学的思想。

4.作为微分学基础的极限理论来说,早在古代以有比较清楚的论述。比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中,记有“一尺之棰,日取其半,万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,则与圆周和体而无所失矣。

5.”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。到了十七世纪,有许多科学问题需要解决,这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来,大约有四种主要类型的问题:第一类是研究运动的时候直接出现的,也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。

6.十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作,如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格;英国的巴罗、瓦里士;德国的开普勒;意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。

7.为微积分的创立做出了贡献。十七世纪下半叶,在前人工作的基础上,英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作,虽然这只是十分初步的工作。

8.他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起,一个是切线问题微分学的中心问题,一个是求积问题(积分学的中心问题)。

9.牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量,因此这门学科早期也称为无穷小分析,这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。

10.牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑,莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》,这本书直到1736年才出版,它在这本书里指出,变量是由点、线、面的连续运动产生的,否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。

11.他把连续变量叫做流动量,把这些流动量的导数叫做流数。牛顿在流数术中所提出的中心问题是:已知连续运动的路径,求给定时刻的速度微分法;已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法)。

12.德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者,1684年,他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献,这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法,它也适用于分式和无理量,以及这种新方法的奇妙类型的计算》。

13.就是这样一片说理也颇含糊的文章,却有划时代的意义。他以含有现代的微分符号和基本微分法则。1686年,莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。他是历史上最伟大的符号学者之一,他所创设的微积分符号,远远优于牛顿的符号,这对微积分的发展有极大的影响。

14.现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。微积分学的创立,极大地推动了数学的发展,过去很多初等数学束手无策的问题,运用微积分,往往迎刃而解,显示出微积分学的非凡威力。

15.前面已经提到,一门科学的创立决不是某一个人的业绩,他必定是经过多少人的努力后,在积累了大量成果的基础上,最后由某个人或几个人总结完成的。

16.不幸的事,由于人们在欣赏微积分的宏伟功效之余,在提出谁是这门学科的创立者的时候,竟然引起了一场悍然大波,造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立。

17.英国数学在一个时期里闭关锁国,囿于民族偏见,过于拘泥在牛顿的“流数术”中停步不前,因而数学发展整整落后了一百年。

18.其实,牛顿和莱布尼茨分别是自己独立研究,在大体上相近的时间里先后完成的。比较特殊的是牛顿创立微积分要比莱布尼词早10年左右,但是整是公开发表微积分这一理论,莱布尼茨却要比牛顿发表早三年。

19.他们的研究各有长处,也都各有短处。那时候,由于民族偏见,关于发明优先权的争论竟从1699年始延续了一百多年。应该指出,这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样,牛顿和莱布尼茨的工作也都是很不完善的。

20.他们在无穷和无穷小量这个问题上,其说不一,十分含糊。牛顿的无穷小量,有时候是零,有时候不是零而是有限的小量;莱布尼茨的也不能自圆其说。这些基础方面的缺陷,最终导致了第二次数学危机的产生。直到19世纪初,法国科学学院的科学家以柯西为首,对微积分的理论进行了认真研究,建立了极限理论,后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化,使极限理论成为了微积分的坚定基础。

21.才使微积分进一步的发展开来。任何新兴的、具有无量前途的科学成就都吸引着广大的科学工作者。在微积分的历史上也闪烁着这样的一些明星:瑞士的雅科布·贝努利和他的兄弟约翰·贝努利、欧拉、法国的拉格朗日、科西……欧氏几何也好,上古和中世纪的代数学也好,都是一种常量数学,微积分才是真正的变量数学,是数学中的大革命。

22.微积分是高等数学的主要分支,不只是局限在解决力学中的变速问题,它驰骋在近代和现代科学技术园地里,建立了数不清的丰功伟绩。

23.微积分的基本内容研究函数,从量的方面研究事物运动变化是微积分的基本方法。这种方法叫做数学分析。本来从广义上说,数学分析包括微积分、函数论等许多分支学科,但是现在一般已习惯于把数学分析和微积分等同起来,数学分析成了微积分的同义词,一提数学分析就知道是指微积分。

24.微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学。微分学的主要内容包括:极限理论、导数、微分等。积分学的主要内容包括:定积分、不定积分等。微积分是与应用联系着发展起来的,最初牛顿应用微积分学及微分方程为了从万有引力定律导出了开普勒行星运动三定律。

25.此后,微积分学极大的推动了数学的发展,同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。

并在这些学科中有越来越广泛的应用,特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。

六.微分和积分有何区别?

1.微分-几何意义设Δx是曲线y=f(x)上的点M的在横坐标上的增量,Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量,dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。

2.当|Δx|很小时,|Δy-dy|比|Δy|要小得多(高阶无穷小),因此在点M附近,我们可以用切线段来近似代替曲线段。

3.几何上都可用曲边梯形面积的代数和来表示,这就是定积分的几何意义。不定积分的几何意义:函数fx的一个原函数y=Fx是这样一条曲线,曲线上任一点x,Fx切线斜率等于fx,曲线Fx沿y轴平行移动得到y=Fx C一族积分曲线,它们都是fx原函数的曲线。

七.定积分和微积分有什么区别?

1.微积分包括微分和积分,微分和积分的运算正好相反,二者互为逆运算。积分又包括定积分和不定积分。定积分是指有固定的积分区间,它的积分值是确定的。不定积分没有固定的积分区间,它的积分值是不确定的。微积分的应用:1运动中速度与距离的互求问题2求曲线的切线问题3求长度、面积、体积、与重心问题等4求最大值和最小值问题二次函数,属于微积分的一类定积分的应用:解决求曲边图形的面积问题例:求由抛物线与直线围成的平面图形D的面积S。

2.求变速直线运动的路程做变速直线运动的物体经过的路程s,等于其速度函数v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间上的定积分变力做功拓展资料:定积分:数学定义:如果函数f(x)在区间上连续,用分点xi将区间分为n个小区间,在每个小区间上任取一点rii=1,2,3„,n,作和式f(r1) 。

3. f(rn),当n趋于无穷大时,上述和式无限趋近于某个常数A,这个常数叫做y=f(x)在区间上的定积分。

4.记作/abf(x)dx即/abf(x)dx=limn00,这里,a与b叫做积分下限与积分上限,区间叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式。

5.几何定义:可以理解为在Oxy坐标平面上,由曲线y=f(x)与直线x=a,x=b以及x轴围成的曲边梯形的面积值一种确定的实数值微积分Calculus是高等数学中研究函数的微分Differentiation、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。

它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算,是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学,包括求积分的运算,为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。

八.微分和积分的概念

微积分的两大部分是微分与积分。微分实际上是求一函数的导数,而积分是已知一函数的导数,求这一函数。所以,微分与积分互为逆运算。

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